What Does ‘=’ Mean?

It is often said that in mathematical equations, such as ‘2+2=4’, the symbol ‘=’ represents the fact that on both sides of the equation there is the same thing. That’s wrong: on the one side there are three symbols, while on the other there is just one.


Even in the equation ‘1=1’ the same-thing-on-both-sides-reading is wrong, because there there are two separate things (the ‘1’ on the left and the ‘1’ on the right).

So how should we understand the ‘=’-symbol? It might seem reasonable to say that in the equation ‘2+2=4’ we should read ‘=’ as meaning that the things that the numbers refer to are the same (in number). If the numbers in the equation refer to apples, for example, then the equation merely states that if you add two apples to two apples you end up with four apples. The ‘=’-symbol tells you that two apples added to two apples is the same as four apples.

But this view is problematic. Mathematics is usually understood as a language or formalism that is independent of reality. Mathematics is, to put it disrespectfully, merely a bunch of tautologies, whose truth depends on the definitions that we ourselves choose. We can of course apply mathematical language/formalism to things we see, but then we are no longer doing mathematics – we’ve turned into physicists.

We can’t just say that the number of apples referred to by the symbols are the same, because mathematical terms have no meaning outside of mathematics.

so what is “=”?


Posted in Epistemology, Philosophy of Mathematics | 2 Comments

Strange Encounters

The man from Dutch Railways (NS) had actually grabbed and stopped my tricycle and walked around to stand in front of me. My front wheel was between his feet, so I couldn’t turn away. He looked at me and said: “I could take you from your tricycle easily if I wanted to.” I was perplexed. Was this guy actually threatening me?! “yes, that’d be easy,” I said, “because my left arm and leg are paralysed.” My response did not have the effect I had hoped for. He smiled at me and said: “can you prove that?”

Because of my disability I use a tricycle to get around. Inside buildings, and even inside shops, when I have to walk a long distance, I cycle my way. That of course raises many eyebrows – you don’t see a bearded man on a tricycle in the supermarket every day. I understand that, and I don’t mind telling people that I’m on a tricycle because of a brain tumour, not even if I have to do that every day. But what happened to me on the particular morning I’m telling you about, was simply astonishing.

The story starts several months ago. I had been teaching the whole day, and I was trying to find the train to Utrecht, to get back home. So I tricycled my way through the station, when an employee of the Dutch Railways (NS) told me to step off from my tricycle and proceed on foot. Normally I would have told him about my brain tumour, but since I was tired, I told him that I don’t ride a tricycle for fun. “Then why do you ride a tricycle?” he asked. “Because I can’t walk” I told him. He wasn’t convinced. He put his hands in his sides and took on what they call the ‘power-pose’. “I’d like to see that” he said with a smile. I couldn’t believe my ears. I became very angry, but I couldn’t think of the proper way to answer him. I just shook my head in disbelief and decided to ignore him. I cycled past him, and found my way to the train to Utrecht – and never looked back. I did my best to forget about what had happened, and I didn’t think about the events very much afterwards.

Until today.

Again I was on my way to the train travelling to Utrecht. I was tricycling across the central hall of the train station when my eyes met those of the NS employee that I had met before. I was about to cycle past him, but apparently he didn’t remember our previous encounter, because again he told me to get off my tricycle. Without turning my head I cycled on, towards where the platforms are. I had hoped that this would be the end of our second encounter, but I was sorely mistaken. The man ran after me and grabbed the frame of my tricycle.

“How can I prove that I have a brain tumour!? I can’t just cut myself open, can I?!” I felt that I was losing my temper, because I really didn’t know what to do or say. A colleague of the man was standing several meters away from us, but didn’t interfere. It felt as if they were waiting for me to become aggressive. I knew that, so I knew that that’s what they’d expect. At a certain point the man looked aside, towards the entrance of the railway station. when he turned his head, he also moved his foot a little bit. And that’s when I escaped. I got on the train, and went home.

As I write this, I feel both proud and ashamed. Proud, because I hadn’t started shouting or become aggressive, but also ashamed, for escaping…

Posted in Personal, Travels | 4 Comments

Einstein & Kant: Synthetic Relativity?

curved space ball

Einstein’s approach to physics may be compared to Kant’s approach to philosophy. Where Kant derived things about the world we perceive from the possibility of human knowledge, Einstein derived things about the world we perceive from the possibility of human physics. At the basis of Kant’s philosophy lies the thought that the world must be such that our knowledge of that world is possible. Kant said that if knowledge is possible, then the world we perceive must have certain features*.  In a way that appears similar, Einstein said that if physics is possible then the world we perceive must have certain features. At the basis of Einstein’s physics lies the thought that the world must be such that physical knowledge of that world is possible.

Kant’s Synthetic A Priori

Let’s start with Kant. To understand Kant’s view it is important to understand that he made a distinction between propositions that are analytic and propositions that are synthetic. A proposition is analytic if its its truth-status can be judged by analysing the definitions of the terms used in the proposition (a standard example of an analytic proposition is “a square has four sides”). A proposition is synthetic if more than mere terminological analysis is required: we must make an observation. A standard example of a synthetic proposition is “the apple is red”.

Kant called analytic propositions a priori, which means that he believed that the truth-status of such propositions can be judged prior to any observation. It won’t surprise anyone that Kant believed that most synthetic statements are a posteriori. Wait a minute… most? why not all? Kant believed that besides the analytic a priori and synthetic a posteriori there is yet a third category of propositions: the synthetic a priori. Synthetic a priori propositions tell us something about the world around us, yet can be known to be true independent of observation.

Einstein’s Relativity

How is Einstein’s approach to physics comparable to this? Einstein analysed physics and came up with the idea of relativity: to be able to do physics, it must be possible for different observers to agree on what the physical laws are. In other words: physical laws must be the same in all reference frames. The thought of relativity was not new. Galileo already observed that if you do an experiment in a uniformly moving lab (say, the cargo hold of a steadily moving ship) or in a lab at rest (on the shore) you will find the same physical laws. However, for Galileo that was a result of how we do physics. The innovative thing about Einstein’s approach is that the thought that physical laws must be the same in all reference frames is no longer a result, but lies at the basis of physics – it has become a postulate.

Is Einstein’s Relativity Postulate Synthetic A Priori?

A debated question about the relation between the approaches of Einstein and Kant is whether Einstein’s postulates are synthetic a priori. Einstein regarded relativity as a postulate – doesn’t that mean that he believed that relativity is a priori?


‘Relativity’ by M.C. Escher (1953)

Being the empiricist that he was, Einstein did not think of his postulates as synthetic without observations telling us so. Only experiment can tell us whether the postulates we choose as the basis of our theories “latch on to the blueprint of reality”. Period. Case closed.

But suppose, for the sake of the argument, that someone with sound common sense but a scientifically untrained mind (a tabula rasa, if you will) were given the following task: try to find a system of laws or rules that can be used by a group of people to make accurate predictions about the things that surround them. What will she find?

Thought Experiment

One might argue that our scientifically untrained friend comes up with a principle of relativity, as laws and rules are most useful if they hold for everyone in the group**. But after that our untrained friend would have to say for who (which reference frames) relativity holds. It might seem as if she should assume relativity for all reference frames, as Einstein did. But Einstein never did that. Einstein only assumed relativity for all reference frames that move either uniformly or acceleratedly relative to each other. He assumed nothing about reference frames that differ from each other in other respects. Here one could think of different movements (eg. irregular, or even discontinuous) or other parameters (such as size, colour or mass).

In other words, our friend doesn’t have any idea what relativity is (what it means that all laws are the same), because for that it is necessary to say what parameters are relevant in describing physical laws. For Einstein it was Newton’s definition of force in terms of acceleration that singled out different states of motion as relevant for reference frames. Only with a definition of force in hand our friend would know which parameters should be the invariants.




*) Where Kant seems to have gone wrong is in thinking that the knowledge of his time (featuring absolute simultaneity and euclidean geometry) was the only possible knowledge.

**) Or she could come up with some kind of subjective relativity: Physical laws are not necessarily the same in all reference frames, but physical laws which can be associated with more reference frames are considered to be better.

Read about Hans Reichenbach’s take on Kant & Modern Physics here.

Posted in Epistemology, Philosophy of Physics | Tagged , , , , | 1 Comment

Wikimedia2017 lezing – Feiten bestaan!?

Vragen aan het Publiek

Steek uw hand omhoog als u denkt dat de uitdrukking klopt.

  • ‘feiten bestaan niet’
  • ‘feiten kunnen waar of onwaar zijn’
  • ‘feiten kunnen waargebeurd zijn’
  • ‘een verhaal kan waargebeurd zijn’

Volgens de Nederlandse Van Dale is een feit “iets dat werkelijk is of heeft plaatsgehad.” Met andere woorden: iets is een feit als het is gebeurd en het is geen feit als het niet is gebeurd. Dat klinkt helder.

Gemaakte feiten (I)

De zaken worden ingewikkelder als we naar de herkomst van het woord ‘feit’ kijken (nu hoor ik u denken: “doe dat dan ook niet”, maar dat is al te laat). Ons woord ‘feit’ stamt af van het Latijnse ‘factum’, dat zoveel als ‘gemaakt’ betekent. Dat is belangrijk, omdat het een andere kijk op feiten geeft. Feiten zijn niet gewoon ‘wat er gebeurt’, maar eerder onze interpretatie van wat er gebeurd is.  Maar wat betekent dat dan, dat feiten gemaakt worden?


Laten we, om te zien hoe feiten geïnterpreteerd kunnen worden, kijken naar autisme in de VS (Trump staat hiernaast afgebeeld omdat we kijken naar autisme in de VS; Trump heeft natuurlijk niets met autisme te maken).

In de jaren ’70 schatten wetenschappers dat een op de 2000 kinderen autistisch is. Nu, anno 2017, is dat één op de 70. Dat is bijna 30 keer zoveel! Er is veel gediscussieerd over deze vermeende ‘autisme-epidemie’. Het kan natuurlijk zo zijn dat dat de jeugd van tegenwoordig de modernisering van de maatschappij niet meer kan bijhouden, dat in 40 jaar de wereld zo is veranderd dat het logisch is dat autisme zo vaak voorkomt.

Maar er zijn ook andere verklaringen mogelijk. Er zijn altijd mensen met autisme geweest, maar die werden niet altijd als iemand met autisme beschouwd. Autisme als naam voor een specifieke aandoening, is ooit ‘uitgevonden’. Wetenschappers denken dat de wonderbaarlijke toename van het aantal mensen met autisme ten dele wordt veroorzaakt door een groeiend bewustzijn dat er zoiets bestaat als autisme. Dat klinkt misschien vreemd. Of iemand autistisch is of niet, dat is toch een feit? Hoe kan ons bewustzijn van autisme daar nu iets mee te maken hebben?

Denk eens aan een huisarts die nog nooit heeft gehoord van autisme. Zij zal de diagnose ‘autisme’ niet stellen. Als we kijken naar de jaren waarin het aantal gevallen het meeste stijgt, dan blijkt dat de stijging in veel gevallen kan worden verklaard zonder te verwijzen naar de daadwerkelijke toestand van personen. Omgevingsfactoren lijken dan verantwoordelijk voor de stijgingen. Zo werd er bijvoorbeeld in 1991, een jaar waarin het aantal gevallen erg steeg, een nieuwe ziektewet ingevoerd die families met autistische kinderen recht gaf op subsidie. Ook is over de jaren meerdere keren de definitie van autisme (de symptomen die iemand moet hebben om als ‘autist’ te worden beschouwd) veranderd.

Ook al zouden we op deze manier iedere stijging in het aantal mensen met autisme kunnen verklaren zonder het over de personen zelf te hebben, dan nog zijn medici het erover eens dat autisme een bestaand fenomeen is met een biologische achtergrond. Deze biologische achtergrond is een ingewikkeld verhaal over hoe atomen en moleculen zich gedragen in onze hersenen. ‘Oké, zul je nu misschien denken, ‘hoeveel autisten er precies zijn is dus niet een feit. Maar dat verhaal over atomen en moleculen, dat zijn toch feiten?’

Gemaakte feiten (II)

Nou… nee. Ons tweede voorbeeld van de interpretatie van feiten laat zien dat ook de uitspraak ‘atomen bestaan’ geen feit is, maar een interpretatie van feiten. Laten we eens kijken naar de waarneming van atomen. Natuurkundigen gebruiken daarvoor een elektronenmicroscoop. Een elektronenmicroscoop meet de dikte van een oppervlak door met een naald over dat oppervlak te gaan en te meten hoe dichtbij het oppervlak is. Als het oppervlak bestaat uit atomen dan meet de elektronenmicroscoop dat het oppervlak regelmatig dichtbij komt (zie afbeelding 2).


afbeelding 2: de naald van een elektronenmicroscoop ‘voelt’ atomen

Maar stel nu dat atomen niet bestaan; dat er in het hele universum een soort veld bestaat met ‘bobbels’ erin (zie afbeelding 3). Dan zou een elektronenmicroscoop hetzelfde zien als wanneer er atomen bestaan.

We weten dus helemaal niet zeker of atomen wel bestaan! Het idee dat materie uit atomen bestaat is slechts een (heel erg nuttige) aanname.





afbeelding 3: een universeel materie-veld

Waarom doen we dit soort aannames? Als we het niet zeker weten, waarom nemen we dan aan dat atomen bestaan? Het antwoord op deze vragen is eigenlijk heel simpel: we moeten bepaalde aannames wel doen, anders is wetenschap onmogelijk.

Wetenschap: Model van de Werkelijkheid

Een gangbare opvatting is dat wetenschap een zoektocht is naar het wiskundige model dat het beste past bij de werkelijkheid die we waarnemen. Zo denken we bijvoorbeeld dat het model dat het beste past bij een steen die wordt afgeschoten met een katapult een wiskundige parabool is (zie afbeelding 5).


Parabola afbeelding 5 & 6: een katapult & een parabool

In deze opvatting van wetenschap als modellering van de werkelijkheid kunnen we duidelijk aangeven wat een feit nu eigenlijk is. Ook aan het begrip ‘waarheid’ kunnen we een heldere betekenis geven. Een feit, zoals we in de eerste zin van dit essay al zagen, is “iets dat werkelijk is of heeft plaatsgehad.” In onze opvatting over wetenschap horen feiten dus thuis in de werkelijkheid.

Wat is ‘waarheid’ in onze opvatting? Kunnen we ‘waarheid’ eenduidig definiëren? In onze opvatting is het van het grootste belang dat het (wiskundige) model dat we kiezen zo veel mogelijk lijkt op wat er in het echt gebeurt. ‘Waarheid’ is dan niets anders dan een juiste afbeelding van iets uit de werkelijkheid (bijvoorbeeld een vliegende kanonskogel) op iets uit het gekozen model (bijvoorbeeld de wiskundige parabool).

Antwoorden aan het Publiek

We kunnen met behulp van deze opvatting over wetenschap de vragen beantwoorden die ik eerder aan het publiek voorlegde.

  • ‘Feiten bestaan niet.’

[Er gebeuren dingen; er bestaat een werkelijkheid, dus feiten bestaan. MAAR: feiten zoals wij ze waarnemen zijn noodzakelijkerwijs ‘gekleurd’ door interpretatie.]


  • ‘Feiten kunnen waar of onwaar zijn.’

[Dit is een ‘categorische fout’; feiten zijn dingen die gebeuren in de werkelijkheid terwijl de waarheid gaat over het verband tussen de werkelijkheid en onze modellen daarvan.]


  • ‘Feiten kunnen waargebeurd zijn.’

[Dit is een tautologie. Iets is een feit of het is geen feit. Als iets een feit is, dan is het per definitie waargebeurd.]


  • ‘Een verhaal kan waargebeurd zijn.’

[Nee, een verhaal kan worden verteld (of geschreven of geschilderd of…), een verhaal kan niet gebeuren.]



Maar wat klopt er dan wel?! zult u zich misschien afvragen.

‘een op feiten gebaseerd verhaal’



  • feiten kunnen niet gemaakt worden
  • feiten kunnen op verschillende manieren worden gemodelleerd en dus geinterpreteerd.
  • We kunnen er nooit zeker van zijn of iets een feit is.
  • Waarover we zeker (denken te kunnen) zijn, zijn geen feiten.

Appendix – vragen uit het publiek

  • bestaat de waarheid in jouw opvatting over wetenschap?

Ze bestaat wel, maar de waarheid is onbereikbaar (en misschien ook wel niet te vatten in een model).


  • wat zou Kant gezegd hebben?

Kant zou de splitsing tussen de werkelijkheid en onze modellen daarvan nog een stap verder doorgevoerd hebben. Kant geloofde namelijk dat er achter de werkelijkheid zoals wij die waarnemen nog een diepere werkelijkheid ligt die voor ons onkenbaar is (hij noemde dat “das Ding an sich”) omdat wij nu eenmaal alleen maar kennis hebben van de werkelijkheid zoals wij die waarnemen.


  • wat zou Wittgenstein gezegd hebben?

Wittgenstein (in zijn vroege werk; de tractatus) zou zich kunnen vinden in ons idee van wat feiten zijn. Ook zou hij zeggen dat de verdere stap van Kant te ver gaat: je moet het niet hebben over onkenbare dingen. “Waarover men niet spreken kan, daarover moet men zwijgen” schreef hij.


Posted in Epistemology, Philosophy of Mathematics, Philosophy of Physics | Tagged , , , , | 4 Comments

Paraclimbing Edinburgh

edinb sit

In September I competed for the IFSC Paraclimbing Worldcup in Edinburgh (UK). The two qualification routes went well, but in the finals I fell from the third grip (the grip I’m sitting on in the picture). But I had a great time!

Continue reading

Posted in paraclimbing, Personal, Travels | Leave a comment

Do Mathematicians Discover or Create?


In my previous blogpost (What Is Mathematics?) we saw that platonists believe that what mathematicians do is discovering things about a world which exist independently of themselves. Intuitionists, on the other hand, believe that mathematicians do not discover but create mathematical theorems*. For many mathematicians Platonism is the obvious choice here. Doesn’t nature just show us how mathematics works? We need only look at triangles drawn in the sand to see that Pythagoras’ theorem is true, don’t we? Isn’t that discovery? Let’s take a look at an example of a mathematical theorem to see whether Platonism is really that obvious.

Continue reading

Posted in Philosophy of Mathematics | 2 Comments

Paraclimbing in Imst

Imst site

Last month* I participated in a paraclimbing competition in Imst, Austria. The wall which we climbed was situated between the beautiful Tiroler mountains.

In the movie below you can see my attempt at climbing the second of the six routes I had to climb. As you can see the number of grips available is large, so that wasn’t a problem. But you’ll also see that there’s quite a bit of overhang, which becomes a problem after a while (when it becomes more difficult to stretch my left arm and unstretch my left leg)

Any expert climbers out there with useful tips?!

Continue reading

Posted in paraclimbing, Travels | 1 Comment

What Is Mathematics?

Mathematics is a language. More specifically, mathematics is the language that scientists use to organise and order observations.

For example, physicists may describe falling stones in terms of mathematical concepts like parabolas and perfect spheres and sociologists describe their observations of large numbers of people in terms of normal distributions and differential equations.

However, stones are not perfect spheres and groups of people don’t behave exactly as described by normal distributions. It follows that talking about falling stones is not the same as talking about spheres that follow parabolas. Considerations like these prompted Bertrand Russell to say that

“mathematics may be defined as the subject in which we don’t know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.”

Continue reading

Posted in Philosophy of Mathematics | Tagged , , , , , , , | 5 Comments

PhD Dissertation

I have defended my PhD dissertation on 13/07/2017 in Utrecht. Below you can find the documents which have kept me busy for several years:


To find out what this is all about, look at p.41 of my book!



Posted in Philosophy of Mathematics, Philosophy of Physics, Probability | Tagged , , , | 5 Comments

The White Rabbit’s Watch

Alice and the Friendly Minotaur have decided to go on a search for the Architect. Alice wants to ask the Architect – who designed the Minotaur’s labyrinth – whether numbers were used in making the labyrinth’s design. She hopes that the Architect can help her to understand what numbers are.


The White Rabbit.

Where should we start looking?’ Alice asked. She had no idea what kind of a person – or creature – this Architect was that the Minotaur talked about, and so she had no idea either where to start looking. The Minotaur thought about this while he rested his chin on one of his hoofs. ‘We need someone who can tell us where the Architect lives.’ He said after a while. ‘We need someone who knows his way around Wonderland.’ He frowned deeply and moved around his eyes as if he tried to look into his own head. And then, suddenly, his eyes brightened and he said with a loud voice ‘we should first go look for the White Rabbit!’ The Minotaur continued in a calmer tone of voice ‘The White rabbit has been a manservant for the Queen for a long time, so he must know many things about Wonderland. Perhaps he can tell us where to find the Architect?’

Continue reading

Posted in Numbers in Wonderland | 2 Comments