The Tricycle Down The Rabbit Hole

[Click here to read the English version of this blog post]

De tweeling paradox van Einstein staat minder ver van ons af dan we denken. Waarom is hij dan zo duizelingwekkend? Ik heb mijn studenten enige extra begeleiding beloofd, vandaar dit bericht op mijn blog.

De lichtklok van Einstein

Om na te gaan wat het zou betekenen als de lichtsnelheid voor iedereen hetzelfde zou zijn, bedacht Einstein zijn gedachtenexperiment over de lichtklok (zie figuur).

Het experiment, waarin een foton op-en-neer beweegt tussen twee parallelle spiegels, laat zien dat een bewegende klok langzamer moet lopen dan een stilstaande als het inderdaad zo is dat de lichtsnelheid voor alle waarnemers hetzelfde is (volgens Pythagoras is de afgelegde afstand immers groter).

Maar dat geldt niet alleen voor de lichtklok – íeder fysisch proces zal vertragen. Dit is een werkelijk effect: een persoon die met een bepaalde snelheid beweegt, veroudert langzamer dan iemand die niet in beweging is.

Tweeling paradox

Hieruit volgt de beroemde tweelingen paradox: stel dat er een tweeling is hier op aarde, en een van de twee maakt een ruimtereis met een snelheid die de snelheid van het licht benadert. De theorie van Einstein vertelt ons dat de achtergebleven persoon ouder is geworden dan de persoon die de ruimtereis heeft gemaakt. Voor de achterblijver is er dus meer tijd verstreken. Dit ervaren wij als een paradox omdat het gedachte experiment van Einstein symmetrisch is. Dat klinkt abstract, maar het is eigenlijk een eenvoudig idee: vanuit het perspectief van de bewegende klok is het juist ónze klok die langzamer lijkt te gaan. Als er deze symmetrie is, waarom is er dan een asymmetrie in het verouderingsproces? Als beide tweelingzussen elkaars klok zien vertragen, waarom is de een dan uiteindelijk meer verouderd dan de ander?

Een paradox is een schijnbare tegenstelling

Dat is nu juist waar het om gaat: er is een verschil in de verstreken tijd, terwijl beide tweelingzussen elkaars klok zien vertragen. We moeten ons realiseren dat dit een paradox is – een schijnbare tegenstelling – en geen echte tegenstelling. Het is volgens de speciale relativiteitstheorie nu eenmaal zo dat wanneer we sneller door de ruimte bewegen, we langzamer gaan door de tijd.

De postbode paradox

In de wereld om ons heen is er een vergelijkbaar effect, maar daar zijn we al zó aan gewend geraakt dat we het geen paradox noemen. Dit effect gaat niet over de snelheid van de tijd, maar over een snelheid waarmee we beter bekend zijn: de snelheid van beweging door de ruimte.
Stel dat twee personen (bijvoorbeeld postbodes) van A naar B lopen.

De eerste loopt in een rechte lijn, de zwarte lijn in de figuur hiernaast, terwijl de andere de rode lijn volgt. Net als in de paradox van Einstein is er hier een symmetrie in perspectieven, want beide personen zien de ander van zich af bewegen. Beide zouden ervan overtuigd kunnen zijn dat het de ander is die beweegt. Desondanks is er een verschil in de afstand die wordt afgelegd. Dit verschil in afstand kunnen wij gemakkelijk verklaren door in te zien dat de postbode die over de rode lijn loopt, een hogere snelheid moet hebben gehad (omdat deze – via een omweg – op hetzelfde punt B uitkomt. Op dezelfde manier is Einsteins paradox geen tegenstelling, maar moeten we inzien dat een klok die beweegt nu eenmaal langzamer loopt.

Noot:

Soms lees je dat het verschil in de veroudering van de tweelingzussen wordt veroorzaakt door versnelling of door over die aanwezigheid van een zwaartekrachtsveld. Maar het effect dat de tweelingparadox paradoxaal maakt is de vertraging van een bewegende klok, en dat is een effect uit de speciale relativiteitstheorie.

Het effect bestaat natuurlijk ook in de algemene relativiteitstheorie, maar zwaartekracht of versnelling zijn niet nodig om het te kunnen afleiden. Dat kunnen we zien aan het gedachtenexperiment over de lichtklok. Daarin is er een vertragende klok (‘tijdsdilatatie’) maar geen zwaartekracht of versnelling.