[Click here to read the English version of this blog post]
De tweeling paradox van Einstein staat minder ver van ons af dan we denken. Waarom is hij dan zo duizelingwekkend? Ik heb mijn studenten enige extra begeleiding beloofd, vandaar dit bericht op mijn blog.
De lichtklok van Einstein
Om na te gaan wat het zou betekenen als de lichtsnelheid voor iedereen hetzelfde zou zijn, bedacht Einstein zijn gedachtenexperiment over de lichtklok (zie figuur).
Het experiment, waarin een foton op-en-neer beweegt tussen twee parallelle spiegels, laat zien dat een bewegende klok langzamer moet lopen dan een stilstaande als het inderdaad zo is dat de lichtsnelheid voor alle waarnemers hetzelfde is (volgens Pythagoras is de afgelegde afstand immers groter).
Maar dat geldt niet alleen voor de lichtklok – íeder fysisch proces zal vertragen. Dit is een werkelijk effect: een persoon die met een bepaalde snelheid beweegt, veroudert langzamer dan iemand die niet in beweging is.
Tweeling paradox
Hieruit volgt de beroemde tweelingen paradox: stel dat er een tweeling is hier op aarde, en een van de twee maakt een ruimtereis met een snelheid die de snelheid van het licht benadert. De theorie van Einstein vertelt ons dat de achtergebleven persoon ouder is geworden dan de persoon die de ruimtereis heeft gemaakt. Voor de achterblijver is er dus meer tijd verstreken. Dit ervaren wij als een paradox omdat het gedachte experiment van Einstein symmetrisch is. Dat klinkt abstract, maar het is eigenlijk een eenvoudig idee: vanuit het perspectief van de bewegende klok is het juist ónze klok die langzamer lijkt te gaan. Als er deze symmetrie is, waarom is er dan een asymmetrie in het verouderingsproces? Als beide tweelingzussen elkaars klok zien vertragen, waarom is de een dan uiteindelijk meer verouderd dan de ander?
Een paradox is een schijnbare tegenstelling
Dat is nu juist waar het om gaat: er is een verschil in de verstreken tijd, terwijl beide tweelingzussen elkaars klok zien vertragen. We moeten ons realiseren dat dit een paradox is – een schijnbare tegenstelling – en geen echte tegenstelling. Het is volgens de speciale relativiteitstheorie nu eenmaal zo dat wanneer we sneller door de ruimte bewegen, we langzamer gaan door de tijd.
De postbode paradox
In de wereld om ons heen is er een vergelijkbaar effect, maar daar zijn we al zó aan gewend geraakt dat we het geen paradox noemen. Dit effect gaat niet over de snelheid van de tijd, maar over een snelheid waarmee we beter bekend zijn: de snelheid van beweging door de ruimte.
Stel dat twee personen (bijvoorbeeld postbodes) van A naar B lopen.
De eerste loopt in een rechte lijn, de zwarte lijn in de figuur hiernaast, terwijl de andere de rode lijn volgt. Net als in de paradox van Einstein is er hier een symmetrie in perspectieven, want beide personen zien de ander van zich af bewegen. Beide zouden ervan overtuigd kunnen zijn dat het de ander is die beweegt. Desondanks is er een verschil in de afstand die wordt afgelegd. Dit verschil in afstand kunnen wij gemakkelijk verklaren door in te zien dat de postbode die over de rode lijn loopt, een hogere snelheid moet hebben gehad (omdat deze – via een omweg – op hetzelfde punt B uitkomt. Op dezelfde manier is Einsteins paradox geen tegenstelling, maar moeten we inzien dat een klok die beweegt nu eenmaal langzamer loopt.
Noot:
Soms lees je dat het verschil in de veroudering van de tweelingzussen wordt veroorzaakt door versnelling of door over die aanwezigheid van een zwaartekrachtsveld. Maar het effect dat de tweelingparadox paradoxaal maakt is de vertraging van een bewegende klok, en dat is een effect uit de speciale relativiteitstheorie.
Het effect bestaat natuurlijk ook in de algemene relativiteitstheorie, maar zwaartekracht of versnelling zijn niet nodig om het te kunnen afleiden. Dat kunnen we zien aan het gedachtenexperiment over de lichtklok. Daarin is er een vertragende klok (‘tijdsdilatatie’) maar geen zwaartekracht of versnelling.
Moet de versnelling niet op een of andere manier wel een rol spelen? Ik meende dat in de oorspronkelijke tweelingparadox de ruimtereiziger weer terugkeert op aarde, en zich dus heeft omgedraaid, wat een versnelling is. Het rode postbodepad heeft ook een versnelling in zich.
Op zich zou het experiment met terugkeer ook kunnen zonder versnelling, door een positief gekromde bol te gebruiken als ruimte, of een vlakke (hyper)torus. Dan zou de reizende astronaut na een rondje door het heelal weer terugkomen op de plaats van de stilstaande astronaut. Bij een torus moet je dan wel goed mikken, bij de bol niet.
Als het (homogene) heelal verder leeg is, en er dus geen referentiekader is, dan zou het volgens mij niet mogelijk moeten zijn om te bepalen welke van de twee astronauten de bewegende is, want geen van de twee versnelt. Dan zou ik verwachten dat de astronauten dezelfde leeftijd hebben als ze elkaar weer ontmoeten.
Hoi Hugo,
bedankt voor je reactie!
versnelling speelt geen ro; het gaat hier over de speciale relativiteit. Als je kijkt naar alleen het eerste deel van de ruimte Race uit de Tweelingen Paradox zou je hetzelfde effect hebben, Je zou het alleen niet kunnen meten.in mijn postbode-voorbeeld geldt dat ook: als je alleen naar het eerste deel van de afgelegde weg kijkt is de Rode Draad langer terwijl beide perspectieven symmetrisch zijn.
jouw voorbeeld met de torus is een mooi voorbeeld van een tweeling Paradox zonder versnelling!
In een verder leeg heelal (dus zonder referentiekader) Zou het inderdaad niet te voorspellen zijn welk van de tweelingen ouder zal worden, maar de theorie van Einstein stelt dat er wel degelijk een van de Tweelingen meer veroudert dan de andere. Maar hoe weten we dat zo zeker? Het argument van Einstein is dat de aanname van een constante lichtsnelheid ervoor kan zorgen dat de waargenomen elektromagnetische kracht (die afhangt van de snelheid waarmee geladen deeltjes bewegen) voor iedere waarnemer hetzelfde is. Het is dus een voorwaarde voor relativiteit.
Daarin is het lichtpostulaat te vergelijken met het idee van energiebehoud… we kunnen het niet zien, maar het levert het fundament voor al onze berekeningen.
In technische termen:
voor een afstand D in een 3d ruimte geldt: x² + y² + z² = D²
voor een afstand D in Einsteins 4d ruimte geldt: x² + y² + z² + t² = D²
(dit heet ‘Lorentz invariantie’. die laatste plus hangt af van hoe je je coördinatenstelsel neemt kiest)
dus hoe sneller je langs de X Y of Z as beweegt, des te langzamer ga je langs de t-as. Dat is de essentie van Einsteins Paradox.
Groet
Bedankt, mijn gedachtenexperiment was te simpel. Er is in een gesloten ruimte kennelijk altijd een voorkeursreferentiekader, en dus altijd een asymmetrie, en dus kan er wel een astronaut ouder worden dan de ander.
Janna Levin (mijn grote voorbeeld ten tijde van mijn masterscriptie) legt het mooi uit in https://arxiv.org/abs/gr-qc/0101014 “The twin paradox in compact spaces”.
Het voorbeeld bij een bol is duidelijk: als de ene waarnemer een perfecte isotrope bol ziet, met dezelfde kromming in alle richtingen, dan zal de andere waarnemer een soort sigaar / pancake zien waarbij de kromming niet in alle richtingen gelijk is. (Als ik het goed begrijp.) Dus de symmetrie die ik veronderstelde is er niet (behalve in triviale gevallen).
Die voorkeursreferentiekaders in een gecompactificeerde ruimte maken kennelijk zelfs “superluminal signal propagation” mogelijk: https://arxiv.org/abs/2208.09014 “Back to the Future: Causality on a Moving Braneworld”
Lijkt een vrij extreme vorm te zijn van de twin paradox. Causaliteit blijft kennelijk wel behouden.